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La Coctelera

Matemática y Arte

La conexión de las matemáticas con el arte se remonta a miles de años atrás. Los matemáticos se han utilizado para diseñar las catedrales góticas, los mosaicos, las alfombras orientales,... Las formas geométricas son fundamentales para los cubistas y para los expresionistas abstractos. Y artistas como M. C. Escher representaron el infinito, la simetría, las espirales, los planos hiperbólicos, ...

Mathematical imagery es un sitio para explorar el mundo de las matemáticas y el arte. Puedes enviar postales electrónicas, o simplemente disfrutar con las imágenes.

La de arriba pertenece a la galería "Mathscapes" (paisajes matemáticos). Anne M. Burns dice que gracias a los ordenadores pudo "ver" la belleza de las matemáticas. Las nubes y las plantas fueron creadas utilizando fractales. Las montañas se crearon con sumas trigonométricas con coeficientes generados al azar. Después, se proyecta todo sobre la pantalla del ordenador haciendo una transformación tridimensional.

La soledad.....

La espera se hace interminable, no se cuanta veces espere sin perder la esperanza de tu llegada, fueron momentos de dolor al saber que no llegarías.
La ilusión de verte, nuevamente, también se acaba, el deseo de esperar el momento, ya no existe.
Se comienza luego de desfallecer una y otra vez, y cada una de esas veces se tiene menos deseos de volverte a ver....
Así acaba el amor, así se desvanece la esperanza,así se siente no amar...
Dejas de creer en lo creíble, dejas de amar lo amado, dejas de soñar lo soñado, dejas de desear lo deseado, dejas de apasionarte con lo apasionado...
Todo se desvanece y ya no queda nada, nada.

Pensamientos, sensualidad, seducción

Foto tomada de Maria Ines

Cuando educar es formar.....

Gracias a todos mis ex alumnos que todavía ingresan a mi blog, me da gusto saber de ustedes, de que no olvidan a aquella profesora que estuvo allí, enseñando, jugando, retando, peleando, riendo y no se cuantas cosas más.
Anécdotas con ustedes son muchas, pero el recuerdo de sus caras, sus preguntas, sus desganos, sus rabietas, enojos, no se olvidan, ahí estan.
Gracias por hacerme sentir que mi profesión vale la pena, que no importa las razones, son ustedes los que valoran mi trabajo, mi esfuerzo y eso, que sólo ustedes saben que yo entrego, FORMACION.
Me lleno de alegría y de pena por no seguir a sus lados, pero aquí estoy dispuesta a escuchar, ayudar y a seguir siendo su profesora virtual.

Los sigo recordando...
Los quiero mucho
Patricia Salazar.

Ecuaciones Diofánticas

A pedido de muchos de mis lectores, aquí tienen un problema de las ecuaciones diofanticas una aplicación del trabajo de DIOFANTO.
Compra de una bufanda

Problema

Una bufanda cuesta 19 rublos, pero el comprador no tiene más que billetes de tres rublos; y la cajera, sólo de cinco. ¿Puede en estas condiciones abonarse el importe de la compra, y cómo hacerlo?
La misión de este problema se reduce a saber cuántos billetes de tres rublos deben entregarse a la cajera para que ella dé las vueltas con billetes de cinco, cobrando los 19 rublos. Las incógnitas del problema son dos: el número de billetes de tres rublos (x) y el número de billetes de cinco (y). Sólo puede plantearse una ecuación:

3x - 5y = 19

Aunque una ecuación con dos incógnitas tiene infinidad de soluciones, esto no quiere decir que entre ellas haya alguna en las que x e y sean números enteros y positivos (recordemos que se trata del número de billetes de banco). He aquí por qué el álgebra ha elaborado el método de solución de estas ecuaciones "indeterminadas". El mérito de haberlas introducido en el álgebra pertenece al primer sabio europeo que cultivó esta ciencia, a Diofanto, célebre matemático de la antigüedad, por lo que estas ecuaciones se llaman con frecuencia "ecuaciones de Diofanto".

Solución
En el ejemplo citado mostremos cómo deben resolverse tales ecuaciones. Hay que hallar el valor de x y de y en la ecuación

3x - 5y = 19

sin olvidar que tanto x cómo y son números enteros y positivos. Despejando la incógnita cuyo coeficiente es menor, es decir, 3x tendremos:

3x = 19 + 5y

de donde

x = (19 + 5y) / 3 = 6 + y + (1 + 2y) / 3

Como x, 6 e y son números enteros, la ecuación puede ser acertada sólo en el caso de que (1 + 2y) / 3 sea también un número entero. Expresémosle con la letra t. Entonces

x = 6 + y + t,

donde

t = (1 + 2y) / 3

y, por tanto,

3t = 1 + 2y , 2y = 3t - 1

De la última ecuación despejaremos la y

y = (3t - 1) / 2 = + (t - 1) / 2

Comoquiera que y y t son números enteros, (t - 1) / 2 debe ser un número entero t 1 . Por consiguiente,

y = t + t 1

y, además,

t 1 = (t - 1) / 2

de donde

2t 1 = t - 1

t = 2t 1 + 1

Sustituyamos el valor de t = 2t 1 + 1 en las igualdades anteriores:

y = t + t l = 2t 1 + 1 + t l = 3t 1 + 1

x = 6 + y + t = 6 + (3t l a - 1) + (2t 1 + 1) = 8 + 5t 1

De esta forma hemos encontrado la expresión para x y para y

x = 8 + 5t 1

y = 1 + 3t 1

Es sabido que x e y son enteros y además positivos, es decir, mayores que 0; por lo tanto,

8 + 5t 1 > 0

1 + 3t 1 > 0

De estas desigualdades resulta que

5t 1 > - 8 y t l > - 8 / 5

3t 1 > - 1 y t l > - 1 / 3

Con esto el valor t l está acotado.

De aquí que la magnitud t l es mayor que - 1 / 3, (y claro, mucho mayor que - 8 / 5). Mas, como t l es un número entero, se deduce que puede tener tan sólo los siguientes valores:

t l = 0, 1, 2, 3, 4, ...

Los valores correspondientes de x y de y son:

x = 8 + 5t 1 = 8, 13, 18, 23, ...

y = 1 + 3t 1 = 1, 4, 7, 10, ....

Veamos ahora de qué manera puede efectuarse el pago: o bien se entregan 8 billetes de 3 rublos, recibiendo de vuelta uno de cinco:

8 - 3 - 5 = 19

o se entregan 13 billetes de 3 rublos, recibiendo de vuelta 4 billetes de 5 rublos:

13 * 3 - 4 * 5 = 19

Teóricamente, este problema tiene infinidad de soluciones, pero en la práctica su número es limitado, por cuanto ni el comprador, ni la cajera tienen una cantidad ilimitada de billetes de banco. Si cada uno dispone, por ejemplo, de 10 billetes, el pago puede efectuarse sólo de una forma: entregando 8 billetes de 3 y recibiendo uno de 5. Como vemos, en la práctica las ecuaciones indeterminadas pueden dar soluciones determinadas

Volviendo a nuestro problema, proponemos al lector que, en calidad de ejercicio, resuelva por su cuenta una de las variantes: concretamente, examinar el caso en que el comprador no tenga más que billetes de 5 rublos, y la cajera, sólo de 3. En este caso aparecen las siguientes soluciones:

x = 5, 8, 11, ....

y = 2, 7, 12, ....

En efecto,

5 * 5 - 2 * 3 = 19

8 * 5 - 7 * 3 = 19

11 * 5 - 12 * 3 = 19

Podríamos obtener también estos resultados al tomar las soluciones del problema central mediante un sencillo procedimiento algebraico. Puesto que entregar billetes de cinco rublos y recibir de tres rublos equivale a "recibir billetes negativos de cinco rublos" y "dar billetes negativos de 3 rublos", la nueva variante del problema se resuelve con la ecuación planteada en el problema central:

3x - 5y = 19

pero con la condición de que x e y sean números negativos. Por eso, de las igualdades

x = 8 + 5t 1

y = 1 + 3t 1

sabiendo que x < 0 e y < 0, deducimos:

8 + 5t 1 < 0

1 + 3t 1 < 0

y, por consiguiente,

t 1 < - 8 / 5

Tomando t 1 = - 2, - 3, - 4, etc., obtenemos de las fórmulas anteriores, los siguientes valores para x e y

t 1 = - 2 - 3 - 4

x = - 2 - 7 - 12

y = - 5 - 8 - 11

El primer par de soluciones, x = - 2, y = - 5, significa que el comprador "paga menos dos billetes de tres rublos" y "recibe menos cinco billetes de cinco", es decir, traducido al idioma común, quiere decir que paga con cinco billetes de a cinco, recibiendo como vuelta 2 billetes de a tres. De esta misma manera interpretaremos también las demás soluciones.

HIPATIA.... en honor a las mujeres.

Una mujer en la ciencia
Hipatia nació en Alejandría a mediados del siglo IV, algunas referencias dicen que en el 370 y otras que en el 355. Su padre Teón de Alejandría era un célebre matemático y astrónomo, muy querido y apreciado por sus contemporáneos, que seguramente trabajaba y daba clases en la biblioteca del momento, es decir en la biblioteca que en algún momento sustituyó a aquella otra legendaria que desapareció en el incendio del año 48 adC. Teón fue un sabio que no se contentó con guardar los conocimientos de la ciencia para sí y sus discípulos sino que hizo partícipe de ellos a su propia hija, algo verdaderamente insólito en el siglo IV. Hipatia por su parte era una mujer abierta a todo el saber que su padre quisiera volcar sobre ella y así fue cómo se educó en un ambiente académico y culto. En efecto, Teón le transmitió su conocimiento sobre las matemáticas y la astronomía además de la pasión por la búsqueda de lo desconocido. Los historiadores han llegado a asegurar que incluso superó al padre, y que muchos de los escritos conservados que se suponen de Teón son en realidad de la hija.

Aprendió también sobre la historia de las diferentes religiones que se conocían en aquel entonces, sobre oratoria, sobre el pensamiento de los filósofos y sobre los principios de la enseñanza. Viajó a Atenas y a Roma siempre con el mismo afán de aprender y de enseñar. La casa de Hipatia se convirtió en un lugar de enseñanza donde acudían estudiantes de todas partes del mundo conocido, atraídos por su fama. Uno de sus alumnos fue Sinesio de Cirene, obispo de Ptolemaida (en Fenicia), rico y con mucho poder. Este personaje dejó escrita mucha información sobre Hipatia, su maestra. Por medio de él pueden llegar a conocerse los libros que ella escribió para la enseñanza, aunque ninguno ha llegado a nuestros días. Otro alumno llamado Hesiquio el Hebreo escribió unas obras que se conservan, en las que también hace una descripción sobre las actividades de Hipatia y asegura que los magistrados acudían a ella para consultarle sobre asuntos de la administración. Dice también que fue una persona muy influyente en el aspecto político. También se interesaba por la mecánica y ponía en práctica la tecnología. Se sabe que inventó un aparato para destilar el agua, un hidrómetro graduado para medir la densidad de los líquidos y un artefacto para medir el nivel del agua.

Pero Hipatia era pagana y le tocó vivir en tiempos duros para el paganismo. Su situación llegó a ser muy peligrosa en aquella ciudad que se iba haciendo cada vez más cristiana. Los filósofos neoplatónicos como Hipatia pronto se vieron cruelmente perseguidos. Algunos se convirtieron al cristianismo, pero Hipatia no consintió en ello a pesar del miedo y de los consejos de su amigos como el caso de Orestes, prefecto romano y alumno suyo, que no consiguió nada a pesar de sus ruegos. Hipatia resultó ser para sus enemigos, no una mujer científica sino una bruja peligrosa.

Muerte de Hipatía
En el año 412 el obispo Cirilo de Alejandría fue nombrado (para sustituir a su tío Teófilo), patriarca, un título de dignidad eclesiástica que sólo se usaba en Alejandría, Constantinopla y Jerusalén, que equivalía casi al del papa de Roma. Cirilo (elevado siglos más tarde a los altares) era un católico que no consentía ninguna clase de paganismo ni de herejía y que luchó toda su vida defendiendo la ortodoxia de la Iglesia católica y combatiendo el nestorianismo. Los historiadores creen que Cirilo fue el principal responsable de la muerte de Hipatia, aunque no exista documentación directa que lo acredite.

Se dice que Cirilo era enemigo de esta mujer, a la que temía y admiraba a la vez. Pero siguiendo la tónica general de la época, no le era posible comprender ni tampoco consentir que una mujer se dedicase a la ciencia y menos aún a esa clase de ciencia que difícilmente podían comprender las personas que no eran eruditas en el tema. Por lo tanto creó un clima y un ambiente de odio y fanatismo hacia ella, tachándola de hechicera y bruja pagana. En el mes de marzo del año 415, Hipatia fue asesinada de la manera más cruel por un grupo de monjes de la iglesia de San Cirilo de Jerusalén (no hay que confundir a los dos Cirilos: el de Jerusalén había muerto en el año 387). Los hechos están recogidos por un obispo de Egipto del siglo VII llamado Juan de Nikio. En sus escritos justifica la masacre que se hizo en aquel año contra los judíos de Alejandría y también la muerte de Hipatia. Cuenta cómo un grupo de cristianos atolondrados, impetuosos y violentos, seguidores de un lector llamado Pedro fueron en su busca, la golpearon, la desnudaron y la arrastraron por toda la ciudad hasta llegar a un templo llamado Cesareo; allí continuaron con la tortura cortando su piel y su cuerpo con caracolas afiladas, hasta que murió; a continuación descuartizaron su cuerpo y lo llevaron a un lugar llamado Cinaron y allí finalmente lo quemaron. De esta manera creyeron dar muerte a lo que ellos llamaban idolatría y herejía.

Orestes, el prefecto romano amigo y alumno de Hipatia informó de los hechos y pidió a Roma una investigación. Pero por «falta de testigos», se fue retrasando, hasta que llegó un momento en que el propio Cirilo aseguró que Hipatia estaba viva y que habitaba en la ciudad de Atenas. Orestes tuvo que huir de Alejandría y abandonar su cargo. Con la muerte de Hipatia se terminó también la enseñanza del pensamiento de Platón no sólo en Alejandría sino en el resto del Imperio. El interés por las ciencias fue debilitándose y la Historia entró en el oscurantismo. Pudo sobrevivir en Bizancio y poco después empezó de nuevo a florecer en el mundo árabe musulmán.

COMIENZO DE UNA NUEVA ETAPA

Hoy no quiero hablar de algún matemático o matemática, sólo quiero comunicar a quienes me acompañaron el 2005, en la mejor misión de educar jovenes y adolescentes en sus etapas más importantes, que fue un gusto haber trabajado con ustedes tanto con mis peques como con mis apoderados, espero haber hecho un buen trabajado, me esmere y trate 100% de entregar todo aquello que como madre me gustaría le entregaran a mis hijos, si cometi un error mil disculpas, siempre quise hacer lo mejor, y desde aqui un cariñoso saludo a ustedes mis niños, los llevo en mi corazón y será muy difícil olvidarlos, les deseo lo mejor, sigan luchando para llegar lejos, y a mis ex apoderados, de igual forma, no olviden que los mejores momentos de sus hijos son ahora, vivan intensos con ellos, no los dejen porque creen que estan grandes, ellos igual los necesitan, vivan su juventud y entiendan los tiempos que viven, pero siempre guíandolos por el camino de la verdad, la justicia, y siempre destacando que ellos deben vivir sus tiempos sin adelantarse, cada cosa a su momento.
Espero verlos pronto....
Los quiere mucho.
Patricia Salazar Morales.

AHORA ESCHER.

Aquí estoy de nuevo mas renovada, descansada, muchas gracias a quienes siguen visitandome la verdad es que no he posteado hace tiempo pero hoy quiero brindar un homenaje a un gran pintor que está muy relacionado con matemática.

OTRO MUNDO II



Maurits Cornelius Escher
Escher nació un 17 de Junio de 1898 en Leeuwarden (Holanda). Como la mayoría de los genios, no fue un estudiante destacado en el colegio, a pesar de lo cual su talento artístico ya se vislumbraba en este periodo. Su padre le introdujo al mundo de la carpintería y le enseño otras habilidades manuales. Comenzó los estudios de Arquitectura, pero una vez allí, Escher se dió cuenta de que su auténtica pasión eran las artes gráficas. Tras dos años en la escuela de arte, obtuvo una especialización en técnicas gráficas y trabajo sobre madera y se dedicó a viajar por el sur de Francia, España e Italia, lugares donde encontró numerosas fuentes de inspiración para su obra. A lo largo de su carrera como artista, Escher se centró en el arte de la estructura, rama hacía la que sentía una especial atracción. Sin embargo, sus primeras obras tendieron a retratar de forma realista los paisajes y la arquitectura con los que se encontró en sus viajes. En estos trabajos Escher reflejó su predilección por la estructura de las construcciones en detrimento del paisaje en sí. La Alhambra de Granada (España), visitada por Escher en incontables ocasiones, fue el edificio que impresionó de forma definitiva a nuestro personaje gracias a las recargadas ornamentaciones moriscas de sus muros, las cuales se repartían el espacio disponible de forma esquemática y perfecta. Esta cautivación le influyó en sus creaciones posteriores a 1937, en las que muestran una división regular del plano y sus famosos patrones de repetición. Su visión única del espacio y de las matemáticas le permitieron dibujar una numerosa colección de fantásticos dibujos hasta su muerte en 1972.